===== Całka nieoznaczona =====

Niech funkcja f(x) określona będzie w przedziale X.

Definicja: Funkcją F(x) nazywamy funkcję pierwotną funkcji f(x) w przedziale X jeżeli dla każdego $x\in X$ spełniony jest warunek: F'(x) = f(x).\\ 
Definicja: Funkcja f(x) mającą w danym przedziale funkcję pierwotną nazywamy całkowalną (w sensie Newtona) w tym przedziale.\\ 
Wyznaczanie funkcji pierwotnej danej funkcji f(x) nazywamy całkowaniem funkcji f(x)
Twierdzenie: Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w tym przedziale funkcję pierwotną. Twierdzenie: Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to:\\ 
(1) funkcja Φ(x) = F(x) + C, gdzie C oznacza stałą składową, jest także funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X,\\ 
(2) każda funkcja pierwotna Φ funkcji f(x) w przedziale X można przedstawić w postaci sumy F(x) + C<sub>0</sub>, gdzie C<sub>0</sub> jest stosowane do Φ(x) i F(x) dowolną stałą.\\ 
Wniosek: Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, to suma F(x) + C, gdzie C oznacza dowolną stałą, przedstawia wszelkie funkcje pierwotne funkcji f(x) w przedziale X i __tylko te funkcje__.\\ 
Definicja: Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w przedziale X i oznaczamy symbolem $\int f(x)dx = F(x) + C$.\\ 
Przykład:

$$
f(x) = x\quad X = (-\infty; +\infty)
\\\\
F(x) = \frac{x^2}{2} + 4\Rightarrow F(x) = x + 0 = x + f(x)
\\\\
\int xdx = \frac{x^2}{2} + C\quad \int e^{x}dx = e^x + C
$$

Twierdzenie:\\ 

$(\int f(x)dx)' = f(x)\\\\
\int f'(x)dx = f(x) + C$

Przykład:

$$(\int xdx)' = x$$

===== Przykładowe wzory =====

(1) $\int0dx = C$


(2) $\int x^{\alpha}dx = \begin{cases} \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C\quad dla\quad \alpha \neq -1\\ln|x| + C\quad dla\quad \alpha = -1\end{cases}$


> (1) $\int x^2dx = \frac{x^{2+1}{2+1}} + C = \frac{x^3}{3} + C$


> (1) $\displaystyle\int \sqrt{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{1}{2} +1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x \sqrt x + C$


> (2) $\int\frac{1}{x}dx = \int x^{-1}dx = ln|x| + C$


(3) $\int a^x dx = \frac{a^x}{ln a} + C,\quad a > 0,\quad a \neq 1$


(4) $\int e^x dx = e^x + C$


(5) $\int \sin xdx = -\cos x + C$


(6) $\int \cos xdx = \sin x + C$


(7) $\int \frac{1}{\sin^{2}x}dx = -\operatorname{ctg} x + C$


(8) $\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \operatorname{tg} x + C$


(9) $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \operatorname{arctg} x + C$


(10) $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x + C$

Twierdzenie: Jeżeli funkcie f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale X to w tym przedziale całkowane są funkcje f(x) + g(x) i kf(x), gdzie k - dowolna stała, przy czym: $\int [f(x)\pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$


> $\int (x-x^2)dx = \int xdx - \int x^2 dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C$

> $\int 4xdx = 4\int xdx = 4\frac{x^2}{2} + C = 2x^2 +C$

===== Całkowanie przez części =====

Twierdzenie: Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u'(x) i v'(x), to w tym przedziale: $\int v(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$

{{wykresy:matematyka_notatki_1.png}}