sqWiki

User Tools

Site Tools

Trace: • koralon • anubrekhan • tosee • scala
matematyka:rozdz_2

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Next revision		Previous revision
matematyka:rozdz_2 [2026/10/21 21:49] – created - external edit 127.0.0.1matematyka:rozdz_2 [2026/10/21 22:08] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 5: Line 5:
 Matematycy znależli kilka różnych systemów logicznych do pracy z nieskończonością i w większości z nich nieskończoność przychodzi w różnych rozmiarach i "smakach". Newton, jak i niemiecki matematyk [[http://pl.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Leibniz]] (który (podobno) niezależnie opracował rachunek różniczkowy) mieli silne intuicyjne przekonanie, że rachunek różniczkowy najbardziej związany był z nieskończenie małymi liczbami. Rozważmy liczbę $1,1^2 = 1,21$. Dwójka na pierwszym miejscu po przecinku jest taka sama jak dwójka, która widnieje we wzorze 2t pochodnej $t^2$. Matematycy znależli kilka różnych systemów logicznych do pracy z nieskończonością i w większości z nich nieskończoność przychodzi w różnych rozmiarach i "smakach". Newton, jak i niemiecki matematyk [[http://pl.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Leibniz]] (który (podobno) niezależnie opracował rachunek różniczkowy) mieli silne intuicyjne przekonanie, że rachunek różniczkowy najbardziej związany był z nieskończenie małymi liczbami. Rozważmy liczbę $1,1^2 = 1,21$. Dwójka na pierwszym miejscu po przecinku jest taka sama jak dwójka, która widnieje we wzorze 2t pochodnej $t^2$.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_1.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ 0.60000 : 1.40000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ 0.60000 : 1.40000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x, (2*x)-1 +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.1. Zbliżenie na funkcję x = t^2, pokazujące linię łączącą punkty (1; 1) i (1,1; 1,21)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.1. Zbliżenie na funkcję x = t^2, pokazujące linię łączącą punkty (1; 1) i (1,1; 1,21)</i></center></html>\\ 
  
Line 46: Line 36:
 Łatwo jest popaść w błędne rozumowane, że nieskończenie małe liczby istnieją w jakimś magicznym świecie, gdzie nie możemy ich dotknąć. To może być prawdą w tym samym świecie, w którym nigdy w pełni nie zrozumiemy $\sqrt{2}$, ponieważ jego rozwinięcie dziesiętne biegnie w nieskończoność i nigdy nie możemy dokładnie go wyznaczyć. Ale w praktyce, to nie przeszkadza nam w pracy z $\sqrt{2}$. Wyznaczamy przybliżoną jego wartość, przykładowo 1,41. Nieskończenie małe liczby nie są mniej lub bardziej tajemnicze niż liczby nierzeczywiste a w szczególności, potrafimy je przedstawić na komputerze.  Łatwo jest popaść w błędne rozumowane, że nieskończenie małe liczby istnieją w jakimś magicznym świecie, gdzie nie możemy ich dotknąć. To może być prawdą w tym samym świecie, w którym nigdy w pełni nie zrozumiemy $\sqrt{2}$, ponieważ jego rozwinięcie dziesiętne biegnie w nieskończoność i nigdy nie możemy dokładnie go wyznaczyć. Ale w praktyce, to nie przeszkadza nam w pracy z $\sqrt{2}$. Wyznaczamy przybliżoną jego wartość, przykładowo 1,41. Nieskończenie małe liczby nie są mniej lub bardziej tajemnicze niż liczby nierzeczywiste a w szczególności, potrafimy je przedstawić na komputerze. 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_2.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ 0.00000 : 6.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -1.00000 : 1.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot sin(x), cos(x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.3. Wykres funkcji sin(t) i jej pochodnej cos(t)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.3. Wykres funkcji sin(t) i jej pochodnej cos(t)</i></center></html>\\ 
  
Line 86: Line 66:
 Następny przykład wymagać będzie drobnego podstępu. Do końca tego rozdziału poznacie ogólne metody rozwiązywania jakichkolwiek pochodnych bez potrzeby stosowania sztuczek. Następny przykład wymagać będzie drobnego podstępu. Do końca tego rozdziału poznacie ogólne metody rozwiązywania jakichkolwiek pochodnych bez potrzeby stosowania sztuczek.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_3.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -1.00000 : 1.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ 0.00000 : 3.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot 1/(1-x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.4. Wykres funkcji x = 1/(1-t)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.4. Wykres funkcji x = 1/(1-t)</i></center></html>\\ 
  
Line 203: Line 173:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(xy)}{dt} = \frac{dx}{dt}y + x\frac{dy}{dt} \frac{d(xy)}{dt} = \frac{dx}{dt}y + x\frac{dy}{dt}
-\end{equation*} 
-$  
 $$ $$
 </box> </box>
Line 232: Line 199:
 ++++ Przykład 13. | ++++ Przykład 13. |
  
-Ciekawym zastosowaniem zasady iloczynu jest znalezienie pochodnej $\sqrt{t}$. Ponieważ $\sqrt{t}$ można zapisać jako $t^{\frac{1}{2}$, możemy podejrzewać, że zasada $d(t^k)/dt = kt^{k-1}$ będzie obowiązywać i tutaj więc otrzymamy $\frac{1}{2}t^{\frac{-1}{2} = 1/(2\sqrt{t}$. Jednakże metody wykorzystane do udowodnienia takiej reguły w rozdziale 1 tylko działają dla k będącego liczbą całkowitą, więc najlepszym, co możemy zrobić to potwierdzić nasze przypuszczenie w przybliżeniu graficznie.+Ciekawym zastosowaniem zasady iloczynu jest znalezienie pochodnej $\sqrt{t}$. Ponieważ $\sqrt{t}$ można zapisać jako $t^{\frac{1}{2}}$, możemy podejrzewać, że zasada $d(t^k)/dt = kt^{k-1}$ będzie obowiązywać i tutaj więc otrzymamy $\frac{1}{2}t^{\frac{-1}{2}} = 1/(2\sqrt{t})$. Jednakże metody wykorzystane do udowodnienia takiej reguły w rozdziale 1 tylko działają dla k będącego liczbą całkowitą, więc najlepszym, co możemy zrobić to potwierdzić nasze przypuszczenie w przybliżeniu graficznie.
  
 Wykorzystując zasadę iloczynu, możemy zapisać $f(t) = d\sqrt{t}/dt$ dla naszej nieznanej pochodnej i z powrotem podstawić do wyniku (?) wykorzystując zasadę iloczynu: Wykorzystując zasadę iloczynu, możemy zapisać $f(t) = d\sqrt{t}/dt$ dla naszej nieznanej pochodnej i z powrotem podstawić do wyniku (?) wykorzystując zasadę iloczynu:
Line 251: Line 218:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 265: Line 229:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} +\begin{aligned} 
-\frac{dz}{dx} &= \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} +\frac{dz}{dx} &= \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} \\ 
-              &= \cos{(y)}2x+              &= \cos{(y)}\,2x \\
               &= 2x\cos{(x^2)}               &= 2x\cos{(x^2)}
-\end{equation*} +\end{aligned} 
-$  +$$
-$$\\ +
 \\  \\ 
 Najczęściej mówi się, że reguła łańcuchowa mówi by wziąć pochodną funkcji zewnętrznej, sinusa w tym przypadku, i pomnożyć ją przez pochodną tego co jest wewnątrz, co w naszym przypadku jest kwadratem. Gdy przyzwyczaisz się do tego, nie będziesz musiał wymyślać trzeciej, pośredniej zmiennej, jak zrobiliśmy tutaj z y. Najczęściej mówi się, że reguła łańcuchowa mówi by wziąć pochodną funkcji zewnętrznej, sinusa w tym przypadku, i pomnożyć ją przez pochodną tego co jest wewnątrz, co w naszym przypadku jest kwadratem. Gdy przyzwyczaisz się do tego, nie będziesz musiał wymyślać trzeciej, pośredniej zmiennej, jak zrobiliśmy tutaj z y.
Line 289: Line 252:
  
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{de^x}{dx} & = \frac{e^{x+dx} - e^x}{dx}\\ \frac{de^x}{dx} & = \frac{e^{x+dx} - e^x}{dx}\\
                 & = \frac{e^x e^{dx} - e^x}{dx}\\                 & = \frac{e^x e^{dx} - e^x}{dx}\\
                 & = e^x\frac{e^{dx} - 1}{dx}                 & = e^x\frac{e^{dx} - 1}{dx}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
  
Line 308: Line 270:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{dc}{dt} & = c_{0}e^{-t/a}(-\frac{1}{a})\\ \frac{dc}{dt} & = c_{0}e^{-t/a}(-\frac{1}{a})\\
               & = -\frac{c_{0}}{a}e^{-t/a}               & = -\frac{c_{0}}{a}e^{-t/a}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 320: Line 281:
 //a// ma jednostkę czasu, ponieważ funkcja eksponencjalna musi mieć na wejściu (?) liczbę bez jednostki, aby jednostka t/a się skróciła. Jednostka wyniku pochodzi z czynnika c<sub>0</sub>/a, i to ma sens, że jednostka to koncentracja podzielona przez czas, ponieważ wynik przedstawia szybkość, z którą koncentracja się zmienia. //a// ma jednostkę czasu, ponieważ funkcja eksponencjalna musi mieć na wejściu (?) liczbę bez jednostki, aby jednostka t/a się skróciła. Jednostka wyniku pochodzi z czynnika c<sub>0</sub>/a, i to ma sens, że jednostka to koncentracja podzielona przez czas, ponieważ wynik przedstawia szybkość, z którą koncentracja się zmienia.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_4.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -0.50000 : 24.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot 2*exp(-x/7) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.7. Typowy wykres koncentracji kofeiny we krwi, w miligramach na litr, jako funkcja czasu, w godzinach</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.7. Typowy wykres koncentracji kofeiny we krwi, w miligramach na litr, jako funkcja czasu, w godzinach</i></center></html>\\ 
 ++++ ++++
Line 340: Line 291:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 y & = 10^x\\ y & = 10^x\\
 \ln{y} & = \ln{(10^x)}\\ \ln{y} & = \ln{(10^x)}\\
 \ln{y} & = x\ln{10}\\ \ln{y} & = x\ln{10}\\
 y & = e^{x\ln{10}} y & = e^{x\ln{10}}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 363: Line 313:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 372: Line 319:
  
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 y & = \ln{x}\\ y & = \ln{x}\\
 x & = e^y\\ x & = e^y\\
Line 379: Line 326:
 & = \frac{1}{x}\\ & = \frac{1}{x}\\
 \frac{d\ln{x}}{dx} & = \frac{1}{x} \frac{d\ln{x}}{dx} & = \frac{1}{x}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
  
Line 395: Line 341:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 y & = x^n\\ y & = x^n\\
 & = e^{n\ln{x}} & = e^{n\ln{x}}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
 \\  \\ 
Line 407: Line 352:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{dy}{dx} & = e^{n\ln{x}}\frac{n}{x}\\ \frac{dy}{dx} & = e^{n\ln{x}}\frac{n}{x}\\
 & = x^n\frac{n}{x}\\ & = x^n\frac{n}{x}\\
 & = nx^{n-1} & = nx^{n-1}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
 \\  \\ 
Line 426: Line 370:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} + v\frac{d(1/u)}{dx} \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} + v\frac{d(1/u)}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 435: Line 376:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} - v\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx} \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} - v\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 444: Line 382:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) \frac{d}{dx}(\frac{v}{u})
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 453: Line 388:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx} \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 468: Line 400:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) & = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx}\\ \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) & = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx}\\
 & = \frac{1}{1+3x} - \frac{3x}{(1 + 3x)^2} & = \frac{1}{1+3x} - \frac{3x}{(1 + 3x)^2}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
 \\  \\ 
Line 518: Line 449:
 To jest [[http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=przest%EApny|przestępne]] równanie i żadne przekształcenia algebraiczne czy trygonometryczne nie dadzą nam rozwiązania, które będzie można zapisać skończoną liczbą arytmetycznych operacji by dać dokładny wynik. Jednakże, łatwo możemy dowieść, e przynajmniej jedno rozwiązanie istnieje, stosując twierdzenie Darboux do funkcji x - cosx. Funkcja cosinus jest ograniczona przez -1 i 1, więc musi być ujemna dla x < -1 i dodatnia dla x > 1. Za twierdzeniem Darboux, musi być rozwiązanie w przedziale $-1\leqslant x\leqslant 1$. Wykres na rysunku 2.10 potwierdza to i pokazuje, że istnieje tylko jedno rozwiązanie. To jest [[http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=przest%EApny|przestępne]] równanie i żadne przekształcenia algebraiczne czy trygonometryczne nie dadzą nam rozwiązania, które będzie można zapisać skończoną liczbą arytmetycznych operacji by dać dokładny wynik. Jednakże, łatwo możemy dowieść, e przynajmniej jedno rozwiązanie istnieje, stosując twierdzenie Darboux do funkcji x - cosx. Funkcja cosinus jest ograniczona przez -1 i 1, więc musi być ujemna dla x < -1 i dodatnia dla x > 1. Za twierdzeniem Darboux, musi być rozwiązanie w przedziale $-1\leqslant x\leqslant 1$. Wykres na rysunku 2.10 potwierdza to i pokazuje, że istnieje tylko jedno rozwiązanie.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_5.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -8.00000 : 8.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -8.00000 : 8.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x - cos(x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.10. Funkcja x - cosx z przykładu 28</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.10. Funkcja x - cosx z przykładu 28</i></center></html>\\ 
 ++++ ++++
Line 549: Line 470:
 Chcemy dowieść, że dla każdego dodatniego u, istnieje takie x, że 0 < x < u, dla którego f(x) ma którykolwiek z pożądanych znaków. Przypuśćmy, że to nie jest prawda dla jakiegoś rzeczywistego u. Wtedy, za pomocą zasady przenoszenia (transfer rule) nieistnienie jakiegokolwiek rzeczywistego x z pożądanymi właściwościami implikuje nieistnienie takiego hiperrzeczywistego x. Ale dla nieskończenie małego x, znak f jest określany całkowicie przez współczynnik przy sinusie, gdyż ten współczynnik jest skończony a współczynnik liniowy nieskończenie mały. Oczywiście sin (1/x) nie może mieć tego samego znaku dla każdej wartości x mniejszej od u, więc jest to sprzeczność a twierdzenie jest poprawne dla każdego u. Z twierdzenia Darbouxa wynika, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania. Chcemy dowieść, że dla każdego dodatniego u, istnieje takie x, że 0 < x < u, dla którego f(x) ma którykolwiek z pożądanych znaków. Przypuśćmy, że to nie jest prawda dla jakiegoś rzeczywistego u. Wtedy, za pomocą zasady przenoszenia (transfer rule) nieistnienie jakiegokolwiek rzeczywistego x z pożądanymi właściwościami implikuje nieistnienie takiego hiperrzeczywistego x. Ale dla nieskończenie małego x, znak f jest określany całkowicie przez współczynnik przy sinusie, gdyż ten współczynnik jest skończony a współczynnik liniowy nieskończenie mały. Oczywiście sin (1/x) nie może mieć tego samego znaku dla każdej wartości x mniejszej od u, więc jest to sprzeczność a twierdzenie jest poprawne dla każdego u. Z twierdzenia Darbouxa wynika, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_6.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x - sin(1/x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.11. Funkcja x - sin(1/x)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.11. Funkcja x - sin(1/x)</i></center></html>\\ 
  
Line 586: Line 497:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 603: Line 511:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 618: Line 523:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x} \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 634: Line 536:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{x}+7}{\frac{1}{x}+8686} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{x}+7}{\frac{1}{x}+8686}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 648: Line 547:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{2+7x}{1+8686x} \frac{2+7x}{1+8686x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 666: Line 562:
 \\  \\ 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_7.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.60000 : 4.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot 1/(x*x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.12. Funkcja 1/x^2 z przykładu 34</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.12. Funkcja 1/x^2 z przykładu 34</i></center></html>\\ 
  
Line 686: Line 572:
 Zbadaj zachowanie się granicy funkcji $f(x)=\tan^{-1}{(1/x)}$ gdy x dąży do 0.\\  Zbadaj zachowanie się granicy funkcji $f(x)=\tan^{-1}{(1/x)}$ gdy x dąży do 0.\\ 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_8.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -6.00000 : 6.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot atan(1/x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.13. Funkcja f(x) z przykładu 35</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.13. Funkcja f(x) z przykładu 35</i></center></html>\\ 
 \\  \\ 
Line 705: Line 581:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0^-}\tan^{-1}\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} \lim_{x\to 0^-}\tan^{-1}\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0^+}\tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \lim_{x\to 0^+}\tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 ++++ ++++
Line 724: Line 594:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 735: Line 602:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{\sin{0,00001}}{0,00001} = 0,999999999983333 \frac{\sin{0,00001}}{0,00001} = 0,999999999983333
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
 Wygląda na to, że granica jest równa 1. To jest idea definicji granicy Weierstrassa: wydaje się, że możemy otrzymać odpowiedź tak bliską do 1 jaką byśmy chcieli, jeżeli jesteśmy skłonni zrobić //x// tak bliskie 0 jak to potrzebne. Wykres na rysunku 2.14 to ilustruje. Wygląda na to, że granica jest równa 1. To jest idea definicji granicy Weierstrassa: wydaje się, że możemy otrzymać odpowiedź tak bliską do 1 jaką byśmy chcieli, jeżeli jesteśmy skłonni zrobić //x// tak bliskie 0 jak to potrzebne. Wykres na rysunku 2.14 to ilustruje.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_9.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -20.00000 : 20.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 1.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot sin(x)/x +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.14. Wykres funkcji sinx/x</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.14. Wykres funkcji sinx/x</i></center></html>\\ 
  
Line 761: Line 615:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [\frac{\sin{(0 + dx)}}{0+dx}\right]\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [\frac{\sin{(0 + dx)}}{0+dx}\right]\\
 &= \st\left [\frac{dx + ...}{dx}\right] &= \st\left [\frac{dx + ...}{dx}\right]
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 771: Line 624:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [1+\frac{\ldots}{dx}\right]\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [1+\frac{\ldots}{dx}\right]\\
 &= 1 &= 1
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 784: Line 636:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to a}\frac{u}{v} = \frac{\dot{u}(a)}{\dot{v}(a)} \lim_{x\to a}\frac{u}{v} = \frac{\dot{u}(a)}{\dot{v}(a)}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 </box> </box>
Line 794: Line 643:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{u}{v} = \frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} \frac{u}{v} = \frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 806: Line 652:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 819: Line 662:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1} \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 828: Line 668:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1}=\infty \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1}=\infty
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 ++++ ++++
Line 840: Line 677:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} +\lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos{x}}{(x-\pi)^2}
-\lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos{x}{(x-\pi)^2} +
-\end{equation*} +
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 849: Line 683:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{-\sin{x}}{2(x-\pi)} \frac{-\sin{x}}{2(x-\pi)}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\ \\
Line 858: Line 689:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{-\cos{x}}{2} = \frac{1}{2} \frac{-\cos{x}}{2} = \frac{1}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 ++++ ++++
Line 870: Line 698:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{0,001}{0,037} &= \frac{1}{37}\\ \frac{0,001}{0,037} &= \frac{1}{37}\\
 \frac{0,001}{0,000001} &= 1000\\ \frac{0,001}{0,000001} &= 1000\\
 \frac{0,000001}{0,001} &= 0,001 \frac{0,000001}{0,001} &= 0,001
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 883: Line 710:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 1000 - 500 &= 500\\ 1000 - 500 &= 500\\
 1001 - 1000 &= 1 1001 - 1000 &= 1
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
  
Line 896: Line 722:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \sqrt{1000001} - \sqrt{999999} = 1,000000020373 * 10^{-3} \sqrt{1000001} - \sqrt{999999} = 1,000000020373 * 10^{-3}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 co jest liczbą przypominającą nieskończenie małe. Bardziej rygorystycznie możemy zapisać wyrażenie jako $\sqrt{H}(\sqrt{1+\frac{1}{H}} - \sqrt{1-\frac{1}{H}}$. Ponieważ pochodna pierwiastka kwadratowego $\sqrt{x}$ w x = 1 wynosi 1/2, możemy to aproksymować jako: co jest liczbą przypominającą nieskończenie małe. Bardziej rygorystycznie możemy zapisać wyrażenie jako $\sqrt{H}(\sqrt{1+\frac{1}{H}} - \sqrt{1-\frac{1}{H}}$. Ponieważ pochodna pierwiastka kwadratowego $\sqrt{x}$ w x = 1 wynosi 1/2, możemy to aproksymować jako:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \sqrt{H}[1+\frac{1}{2H} + ... - (1 - /frac{1}{2H} + ... )] \sqrt{H}[1+\frac{1}{2H} + ... - (1 - /frac{1}{2H} + ... )]
 = \sqrt{H}[\frac{1/H} + ...] = \sqrt{H}[\frac{1/H} + ...]
 = \frac{1}{\sqrt{H}} = \frac{1}{\sqrt{H}}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\ $$\\
 \\ \\
Line 920: Line 740:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to \infty}3+\frac{1}{x} = 3 \lim_{x\to \infty}3+\frac{1}{x} = 3
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 931: Line 748:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1} \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 940: Line 754:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2} \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 949: Line 760:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to +\infty}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2} \lim_{x\to +\infty}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2}
 \lim_{x\to -\infty}\arctan{x}^{-1} = -\frac{\pi}{2} \lim_{x\to -\infty}\arctan{x}^{-1} = -\frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 964: Line 772:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to \infty}\frac{2x+7}{x+8686} \lim_{x\to \infty}\frac{2x+7}{x+8686}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 975: Line 780:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{2+\frac{7}{x}}{1+\frac{8686}{x}} \frac{2+\frac{7}{x}}{1+\frac{8686}{x}}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
matematyka/rozdz_2.1792619343.txt.gz · Last modified: 2026/10/21 21:49 by 127.0.0.1
Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki