sqWiki

User Tools

Site Tools

Trace: • koralon • anubrekhan • tosee • scala • rozdz_2
matematyka:rozdz_1

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Next revision		Previous revision
matematyka:rozdz_1 [2026/10/21 21:49] – created - external edit 127.0.0.1matematyka:rozdz_1 [2026/10/21 22:08] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 8: Line 8:
 Rysunek 1.1 przedstawia jeden ze sposobów rozwiązania tego typu problemu. Zapełnione kolumny rysunku oznaczają liczby od 1 do 7. Zsumowanie ich jest równoznaczne ze znalezieniem pola powierzchni zacienionego obszaru. W przybliżeniu połowa kwadratów jest zacieniona, więc gdybyśmy chcieli przybliżone rozwiązanie, moglibyśmy po prostu obliczyć Rysunek 1.1 przedstawia jeden ze sposobów rozwiązania tego typu problemu. Zapełnione kolumny rysunku oznaczają liczby od 1 do 7. Zsumowanie ich jest równoznaczne ze znalezieniem pola powierzchni zacienionego obszaru. W przybliżeniu połowa kwadratów jest zacieniona, więc gdybyśmy chcieli przybliżone rozwiązanie, moglibyśmy po prostu obliczyć
 $$ $$
-7^{2}/2 = 24,5}\;+7^{2}/2 = 24{,}5\;
 $$ $$
 . Ale, co pokazano na rysunku 1.2, uzyskanie dokładnego wyniku nie jest dużo trudniejsze. Jest siedem ząbków wystających poza przekątną. Ich sumaryczne pole wynosi $\frac{7}{2}$ a więc pole powierzchni całego zacienionego obszaru wynosi $(7^{2} + 7)/2 = 28$. Ogólnie, suma pierwszych n liczb wynosi$(n^2 + n)/2$, co wyjaśnia wynik Gaussa: $(100^2 + 100)/2 = 5050$. . Ale, co pokazano na rysunku 1.2, uzyskanie dokładnego wyniku nie jest dużo trudniejsze. Jest siedem ząbków wystających poza przekątną. Ich sumaryczne pole wynosi $\frac{7}{2}$ a więc pole powierzchni całego zacienionego obszaru wynosi $(7^{2} + 7)/2 = 28$. Ogólnie, suma pierwszych n liczb wynosi$(n^2 + n)/2$, co wyjaśnia wynik Gaussa: $(100^2 + 100)/2 = 5050$.
Line 30: Line 30:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{n^2 + 2}{2} - \frac{(n-1)^2 + (n - 1)}{2} = \frac{n^2 + n - (n^2 - 2n +1 +n -1)}{2} = n \frac{n^2 + 2}{2} - \frac{(n-1)^2 + (n - 1)}{2} = \frac{n^2 + n - (n^2 - 2n +1 +n -1)}{2} = n
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_1.png}}
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set samples 160 +
-set zeroaxis +
- +
-set xrange [ 0.00000 : 7.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ 0.00000 : 30.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x + 1/2, (x*x+x)/2 +
-</plot>+
  
 <html><center><i>Rys. 1.3. x' to nachylenie k</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.3. x' to nachylenie k</i></center></html>\\ 
Line 71: Line 57:
 Zauważyliście, że podstępnie umieściłem coś w przykładzie napełniającego się zbiornika? Funkcje //x// i $\dot{x}$, których używałem jako przykładów, zawsze były zdefiniowane na liczbach całkowitych, aby prezentowały zmianę, która następuje w dyskretnych krokach, ale przepływ wody do zbiornika jest przecież płynny i ciągły. Czy aby na pewno? Woda składa się przecież z molekuł. Molekuły wody są jednak tak małe, że nie widzimy ich jako osobnych jednostek. Wykres na rysunku 1.4 jest dyskretny, ale wygląda prawie jak ciągły, z powodu skali przyjętej tak, że punkty zlewają się w jedno. Zauważyliście, że podstępnie umieściłem coś w przykładzie napełniającego się zbiornika? Funkcje //x// i $\dot{x}$, których używałem jako przykładów, zawsze były zdefiniowane na liczbach całkowitych, aby prezentowały zmianę, która następuje w dyskretnych krokach, ale przepływ wody do zbiornika jest przecież płynny i ciągły. Czy aby na pewno? Woda składa się przecież z molekuł. Molekuły wody są jednak tak małe, że nie widzimy ich jako osobnych jednostek. Wykres na rysunku 1.4 jest dyskretny, ale wygląda prawie jak ciągły, z powodu skali przyjętej tak, że punkty zlewają się w jedno.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_2.png}}
-unset border +
-set xtics ( 0, 10, 20, 30) axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -0.50000 : 30.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 500.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x/2 with points +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.4. Przy takiej skali, funkcja wydaje się prawie ciągła</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.4. Przy takiej skali, funkcja wydaje się prawie ciągła</i></center></html>\\ 
  
 Tym samym tropem podążał fizyk, Izaak Newton, w latach sześćdziesiątych XVII wieku i znalazł sposób analizy funkcji //x// i $\dot{x}$, które były ciągłe. Zapis $\dot{x}$ to jego zasługa (a korzystał z niego tylko dla funkcji ciągłych). Te matematyczne metody nazywamy dzisiaj rachunkiem różniczkowym i całkowym. Tym samym tropem podążał fizyk, Izaak Newton, w latach sześćdziesiątych XVII wieku i znalazł sposób analizy funkcji //x// i $\dot{x}$, które były ciągłe. Zapis $\dot{x}$ to jego zasługa (a korzystał z niego tylko dla funkcji ciągłych). Te matematyczne metody nazywamy dzisiaj rachunkiem różniczkowym i całkowym.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_3.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x/2, x - 0.5 +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.5. Funkcja x(t) i styczna do niej w punkcie P(1;0,5)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.5. Funkcja x(t) i styczna do niej w punkcie P(1;0,5)</i></center></html>\\ 
  
 Newton był fizykiem i ów rachunek był mu potrzebny do badań nad ruchem ciał. Jeżeli ciało porusza się w jednym wymiarze, możemy określić jego pozycję zmienną //x//, //x// będzie wtedy funkcją czasu, //t//. Prędkość zmiany pozycji ciała $\dot{x}$ to jego prędkość. Wczesne eksperymenty Galileusza wykazały, że gdy kula staczała się z równi pochyłej, jej pozycja była proporcjonalna do $t^2$, więc Newton wywnioskował, że wykres 1.5 byłby typowym dla każdego ciała poruszającego się pod wpływem stałej siły (na przykład $7t^2$, $\frac{t^2}{42}$ lub cokolwiek innego, proporcjonalnego do $t^2$, zależnie od siły działającej na ciało i jego masy). Newton był fizykiem i ów rachunek był mu potrzebny do badań nad ruchem ciał. Jeżeli ciało porusza się w jednym wymiarze, możemy określić jego pozycję zmienną //x//, //x// będzie wtedy funkcją czasu, //t//. Prędkość zmiany pozycji ciała $\dot{x}$ to jego prędkość. Wczesne eksperymenty Galileusza wykazały, że gdy kula staczała się z równi pochyłej, jej pozycja była proporcjonalna do $t^2$, więc Newton wywnioskował, że wykres 1.5 byłby typowym dla każdego ciała poruszającego się pod wpływem stałej siły (na przykład $7t^2$, $\frac{t^2}{42}$ lub cokolwiek innego, proporcjonalnego do $t^2$, zależnie od siły działającej na ciało i jego masy).
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_4.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x/2, 3*x - 0.5 +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.6. Ta prosta nie jest styczna do funkcji, przecina ją</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.6. Ta prosta nie jest styczna do funkcji, przecina ją</i></center></html>\\ 
  
Line 122: Line 78:
 To dowodzi temu, że $\dot{x}(1) = 1$, ale zajęło to sporo czasu a nie chcemy tego robić aby określić $\dot{x}$ dla każdej wartości //t//. Istnieje pewien sposób by tego uniknąć i znaleźć wzór funkcji $\dot{x}$. Porównajcie wykresy na rysunkach 1.5 i 1.7. Oba są wykresami tej samej funkcji i obydwa wyglądają tak samo. Czym się różnią? Jedyną różnicą jest skala, na rysunku 1.7 oś t została podzielona przez 2 a oś x przez 4. Wykres wygląda tak samo, ponieważ podwojenie //t// mnoży $\frac{t^2}{2}$ przez cztery. Linia styczna w tym wypadku to linia t = 2, a nie t = 1 i pomomo tego, że wygląda tak samo jak na rysunku 1.5, nią nie jest, z powodu różnych skali. Linia z rysunku 1.5 miała nachylenie równe 1/1 = 1, a ta z rysunku 1.7 4/2 = 2. To oznacza, że $\dot{x}(2) = 2$. Ogólnie, przykład ze zmianą skal pokazuje, że $\dot{x}(t) = t$ dla każdego //t//. To dowodzi temu, że $\dot{x}(1) = 1$, ale zajęło to sporo czasu a nie chcemy tego robić aby określić $\dot{x}$ dla każdej wartości //t//. Istnieje pewien sposób by tego uniknąć i znaleźć wzór funkcji $\dot{x}$. Porównajcie wykresy na rysunkach 1.5 i 1.7. Oba są wykresami tej samej funkcji i obydwa wyglądają tak samo. Czym się różnią? Jedyną różnicą jest skala, na rysunku 1.7 oś t została podzielona przez 2 a oś x przez 4. Wykres wygląda tak samo, ponieważ podwojenie //t// mnoży $\frac{t^2}{2}$ przez cztery. Linia styczna w tym wypadku to linia t = 2, a nie t = 1 i pomomo tego, że wygląda tak samo jak na rysunku 1.5, nią nie jest, z powodu różnych skali. Linia z rysunku 1.5 miała nachylenie równe 1/1 = 1, a ta z rysunku 1.7 4/2 = 2. To oznacza, że $\dot{x}(2) = 2$. Ogólnie, przykład ze zmianą skal pokazuje, że $\dot{x}(t) = t$ dla każdego //t//.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_5.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -0.50000 : 4.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 8.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x/2, 2*x - 2 +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.7. Ponownie funkcja t^2/2. Czy różni się od rysunku 1.5? </i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.7. Ponownie funkcja t^2/2. Czy różni się od rysunku 1.5? </i></center></html>\\ 
  
Line 150: Line 96:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(y+z)}{dx} = \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx} \frac{d(y+z)}{dx} = \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$ $$
  
Line 159: Line 102:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(y + z)}{dx} = \lim_{h = 0} \frac{[f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \frac{d(y + z)}{dx} = \lim_{h = 0} \frac{[f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]}{h} =
- 
-\end{equation*} 
-$  
 $$ $$
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{h = 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} + \lim_{h = 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = \lim_{h = 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} + \lim_{h = 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} =
-\end{equation*} 
-$  
 $$ $$
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx} \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$ $$
  
Line 222: Line 155:
 Druga pochodna może być interpretowana jako miara krzywizny wykresu funkcji, jak to pokazano na rysunku 1.8. Wykres funkcji //x// = //2t// jest prostą bez krzywizny. Jego pierwsza pochodna to 2 a druga zero. Funkcja $t^2$ ma drugą pochodną równą 2, a o dużo bardziej ciasnej krzywiźnie funkcja $7t^2$ ma większą drugą pochodną, 14.  Druga pochodna może być interpretowana jako miara krzywizny wykresu funkcji, jak to pokazano na rysunku 1.8. Wykres funkcji //x// = //2t// jest prostą bez krzywizny. Jego pierwsza pochodna to 2 a druga zero. Funkcja $t^2$ ma drugą pochodną równą 2, a o dużo bardziej ciasnej krzywiźnie funkcja $7t^2$ ma większą drugą pochodną, 14. 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_6.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 8.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot 7*x*x, x*x, 2*x +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.8.  Wykresy funkcji 2t, t^2 i 7t^2</i></center></html>\\ <html><center><i>Rys. 1.8.  Wykresy funkcji 2t, t^2 i 7t^2</i></center></html>\\
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_7.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 4.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x, 3 - x*x +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.9. Funkcje t^2 i 3 - t^2</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.9. Funkcje t^2 i 3 - t^2</i></center></html>\\ 
  
 Znak drugiej pochodnej oznacza wklęsłość. Na rysunku 1.9 funkcja $t^2$ jest wklęsła ku górze co odpowiada znakowi dodatniemu drugiej pochodnej. Druga pochodna funkcji $3-t^2$ jest ujemna, więc funkcja jest wklęsła ku dołowi.  Znak drugiej pochodnej oznacza wklęsłość. Na rysunku 1.9 funkcja $t^2$ jest wklęsła ku górze co odpowiada znakowi dodatniemu drugiej pochodnej. Druga pochodna funkcji $3-t^2$ jest ujemna, więc funkcja jest wklęsła ku dołowi. 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_8.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -8.00000 : 8.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x*x +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.10. Funkcja t^3 ma punkt przegięcia w t = 0</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.10. Funkcja t^3 ma punkt przegięcia w t = 0</i></center></html>\\ 
  
Line 289: Line 192:
 Podczas tych rozważań, zakładaliśmy, że maksimum lub minimum jest tam(?), gdzie funkcja jest gładka. Są inne możliwości. Na rysunku 1.11, minimum funkcji występuje na końcu swojej dziedziny.  Podczas tych rozważań, zakładaliśmy, że maksimum lub minimum jest tam(?), gdzie funkcja jest gładka. Są inne możliwości. Na rysunku 1.11, minimum funkcji występuje na końcu swojej dziedziny. 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_9.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -1.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot sqrt(x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.11. Funkcja x = sqrt(t) ma minimum w t = 0, co nie jest punktem, m, w którym pierwsza pochodna jest równa zeru. Ten punkt jest brzegiem dziedziny funkcji</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.11. Funkcja x = sqrt(t) ma minimum w t = 0, co nie jest punktem, m, w którym pierwsza pochodna jest równa zeru. Ten punkt jest brzegiem dziedziny funkcji</i></center></html>\\ 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_1_10.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -1.00000 : 1.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot abs(x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 1.12. Funkcja x = |t| ma minimum w t = 0, co nie jest miejscem, gdzie pochodna funkcji jest równa zeru. To miejsce, gdzie funkcja nie jest różniczkowalna</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 1.12. Funkcja x = |t| ma minimum w t = 0, co nie jest miejscem, gdzie pochodna funkcji jest równa zeru. To miejsce, gdzie funkcja nie jest różniczkowalna</i></center></html>\\ 
  
matematyka/rozdz_1.1792619343.txt.gz · Last modified: 2026/10/21 21:49 by 127.0.0.1
Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki