sqWiki

User Tools

Site Tools

Trace: • wotlk • obrot_bitowy • brudnopis • instalacja • kserokopiarka • japonia • hiszpania • quirks • rozdz_2 • literatura_angielska
matematyka:rozdz_2

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
matematyka:rozdz_2 [2026/10/21 21:58] – [Reguła łańcuchowa] sqbellmatematyka:rozdz_2 [2026/10/21 22:08] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 5: Line 5:
 Matematycy znależli kilka różnych systemów logicznych do pracy z nieskończonością i w większości z nich nieskończoność przychodzi w różnych rozmiarach i "smakach". Newton, jak i niemiecki matematyk [[http://pl.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Leibniz]] (który (podobno) niezależnie opracował rachunek różniczkowy) mieli silne intuicyjne przekonanie, że rachunek różniczkowy najbardziej związany był z nieskończenie małymi liczbami. Rozważmy liczbę $1,1^2 = 1,21$. Dwójka na pierwszym miejscu po przecinku jest taka sama jak dwójka, która widnieje we wzorze 2t pochodnej $t^2$. Matematycy znależli kilka różnych systemów logicznych do pracy z nieskończonością i w większości z nich nieskończoność przychodzi w różnych rozmiarach i "smakach". Newton, jak i niemiecki matematyk [[http://pl.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Leibniz]] (który (podobno) niezależnie opracował rachunek różniczkowy) mieli silne intuicyjne przekonanie, że rachunek różniczkowy najbardziej związany był z nieskończenie małymi liczbami. Rozważmy liczbę $1,1^2 = 1,21$. Dwójka na pierwszym miejscu po przecinku jest taka sama jak dwójka, która widnieje we wzorze 2t pochodnej $t^2$.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_1.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ 0.60000 : 1.40000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ 0.60000 : 1.40000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x*x, (2*x)-1 +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.1. Zbliżenie na funkcję x = t^2, pokazujące linię łączącą punkty (1; 1) i (1,1; 1,21)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.1. Zbliżenie na funkcję x = t^2, pokazujące linię łączącą punkty (1; 1) i (1,1; 1,21)</i></center></html>\\ 
  
Line 46: Line 36:
 Łatwo jest popaść w błędne rozumowane, że nieskończenie małe liczby istnieją w jakimś magicznym świecie, gdzie nie możemy ich dotknąć. To może być prawdą w tym samym świecie, w którym nigdy w pełni nie zrozumiemy $\sqrt{2}$, ponieważ jego rozwinięcie dziesiętne biegnie w nieskończoność i nigdy nie możemy dokładnie go wyznaczyć. Ale w praktyce, to nie przeszkadza nam w pracy z $\sqrt{2}$. Wyznaczamy przybliżoną jego wartość, przykładowo 1,41. Nieskończenie małe liczby nie są mniej lub bardziej tajemnicze niż liczby nierzeczywiste a w szczególności, potrafimy je przedstawić na komputerze.  Łatwo jest popaść w błędne rozumowane, że nieskończenie małe liczby istnieją w jakimś magicznym świecie, gdzie nie możemy ich dotknąć. To może być prawdą w tym samym świecie, w którym nigdy w pełni nie zrozumiemy $\sqrt{2}$, ponieważ jego rozwinięcie dziesiętne biegnie w nieskończoność i nigdy nie możemy dokładnie go wyznaczyć. Ale w praktyce, to nie przeszkadza nam w pracy z $\sqrt{2}$. Wyznaczamy przybliżoną jego wartość, przykładowo 1,41. Nieskończenie małe liczby nie są mniej lub bardziej tajemnicze niż liczby nierzeczywiste a w szczególności, potrafimy je przedstawić na komputerze. 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_2.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ 0.00000 : 6.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -1.00000 : 1.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot sin(x), cos(x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.3. Wykres funkcji sin(t) i jej pochodnej cos(t)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.3. Wykres funkcji sin(t) i jej pochodnej cos(t)</i></center></html>\\ 
  
Line 86: Line 66:
 Następny przykład wymagać będzie drobnego podstępu. Do końca tego rozdziału poznacie ogólne metody rozwiązywania jakichkolwiek pochodnych bez potrzeby stosowania sztuczek. Następny przykład wymagać będzie drobnego podstępu. Do końca tego rozdziału poznacie ogólne metody rozwiązywania jakichkolwiek pochodnych bez potrzeby stosowania sztuczek.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_3.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -1.00000 : 1.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ 0.00000 : 3.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot 1/(1-x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.4. Wykres funkcji x = 1/(1-t)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.4. Wykres funkcji x = 1/(1-t)</i></center></html>\\ 
  
Line 203: Line 173:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(xy)}{dt} = \frac{dx}{dt}y + x\frac{dy}{dt} \frac{d(xy)}{dt} = \frac{dx}{dt}y + x\frac{dy}{dt}
-\end{equation*} 
-$  
 $$ $$
 </box> </box>
Line 251: Line 218:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 288: Line 252:
  
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{de^x}{dx} & = \frac{e^{x+dx} - e^x}{dx}\\ \frac{de^x}{dx} & = \frac{e^{x+dx} - e^x}{dx}\\
                 & = \frac{e^x e^{dx} - e^x}{dx}\\                 & = \frac{e^x e^{dx} - e^x}{dx}\\
                 & = e^x\frac{e^{dx} - 1}{dx}                 & = e^x\frac{e^{dx} - 1}{dx}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
  
Line 307: Line 270:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{dc}{dt} & = c_{0}e^{-t/a}(-\frac{1}{a})\\ \frac{dc}{dt} & = c_{0}e^{-t/a}(-\frac{1}{a})\\
               & = -\frac{c_{0}}{a}e^{-t/a}               & = -\frac{c_{0}}{a}e^{-t/a}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 319: Line 281:
 //a// ma jednostkę czasu, ponieważ funkcja eksponencjalna musi mieć na wejściu (?) liczbę bez jednostki, aby jednostka t/a się skróciła. Jednostka wyniku pochodzi z czynnika c<sub>0</sub>/a, i to ma sens, że jednostka to koncentracja podzielona przez czas, ponieważ wynik przedstawia szybkość, z którą koncentracja się zmienia. //a// ma jednostkę czasu, ponieważ funkcja eksponencjalna musi mieć na wejściu (?) liczbę bez jednostki, aby jednostka t/a się skróciła. Jednostka wyniku pochodzi z czynnika c<sub>0</sub>/a, i to ma sens, że jednostka to koncentracja podzielona przez czas, ponieważ wynik przedstawia szybkość, z którą koncentracja się zmienia.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_4.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -0.50000 : 24.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot 2*exp(-x/7) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.7. Typowy wykres koncentracji kofeiny we krwi, w miligramach na litr, jako funkcja czasu, w godzinach</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.7. Typowy wykres koncentracji kofeiny we krwi, w miligramach na litr, jako funkcja czasu, w godzinach</i></center></html>\\ 
 ++++ ++++
Line 339: Line 291:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 y & = 10^x\\ y & = 10^x\\
 \ln{y} & = \ln{(10^x)}\\ \ln{y} & = \ln{(10^x)}\\
 \ln{y} & = x\ln{10}\\ \ln{y} & = x\ln{10}\\
 y & = e^{x\ln{10}} y & = e^{x\ln{10}}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 362: Line 313:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 371: Line 319:
  
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 y & = \ln{x}\\ y & = \ln{x}\\
 x & = e^y\\ x & = e^y\\
Line 378: Line 326:
 & = \frac{1}{x}\\ & = \frac{1}{x}\\
 \frac{d\ln{x}}{dx} & = \frac{1}{x} \frac{d\ln{x}}{dx} & = \frac{1}{x}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
  
Line 394: Line 341:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 y & = x^n\\ y & = x^n\\
 & = e^{n\ln{x}} & = e^{n\ln{x}}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
 \\  \\ 
Line 406: Line 352:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{dy}{dx} & = e^{n\ln{x}}\frac{n}{x}\\ \frac{dy}{dx} & = e^{n\ln{x}}\frac{n}{x}\\
 & = x^n\frac{n}{x}\\ & = x^n\frac{n}{x}\\
 & = nx^{n-1} & = nx^{n-1}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
 \\  \\ 
Line 425: Line 370:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} + v\frac{d(1/u)}{dx} \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} + v\frac{d(1/u)}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 434: Line 376:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} - v\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx} \frac{d(v/u)}{dx} = \frac{dv}{dx}\frac{1}{u} - v\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 443: Line 382:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) \frac{d}{dx}(\frac{v}{u})
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 452: Line 388:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx} \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 467: Line 400:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) & = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx}\\ \frac{d}{dx}(\frac{v}{u}) & = \frac{1}{u}\frac{dv}{dx} - \frac{v}{u^2}\frac{du}{dx}\\
 & = \frac{1}{1+3x} - \frac{3x}{(1 + 3x)^2} & = \frac{1}{1+3x} - \frac{3x}{(1 + 3x)^2}
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$ $$
 \\  \\ 
Line 517: Line 449:
 To jest [[http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=przest%EApny|przestępne]] równanie i żadne przekształcenia algebraiczne czy trygonometryczne nie dadzą nam rozwiązania, które będzie można zapisać skończoną liczbą arytmetycznych operacji by dać dokładny wynik. Jednakże, łatwo możemy dowieść, e przynajmniej jedno rozwiązanie istnieje, stosując twierdzenie Darboux do funkcji x - cosx. Funkcja cosinus jest ograniczona przez -1 i 1, więc musi być ujemna dla x < -1 i dodatnia dla x > 1. Za twierdzeniem Darboux, musi być rozwiązanie w przedziale $-1\leqslant x\leqslant 1$. Wykres na rysunku 2.10 potwierdza to i pokazuje, że istnieje tylko jedno rozwiązanie. To jest [[http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=przest%EApny|przestępne]] równanie i żadne przekształcenia algebraiczne czy trygonometryczne nie dadzą nam rozwiązania, które będzie można zapisać skończoną liczbą arytmetycznych operacji by dać dokładny wynik. Jednakże, łatwo możemy dowieść, e przynajmniej jedno rozwiązanie istnieje, stosując twierdzenie Darboux do funkcji x - cosx. Funkcja cosinus jest ograniczona przez -1 i 1, więc musi być ujemna dla x < -1 i dodatnia dla x > 1. Za twierdzeniem Darboux, musi być rozwiązanie w przedziale $-1\leqslant x\leqslant 1$. Wykres na rysunku 2.10 potwierdza to i pokazuje, że istnieje tylko jedno rozwiązanie.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_5.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -8.00000 : 8.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -8.00000 : 8.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x - cos(x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.10. Funkcja x - cosx z przykładu 28</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.10. Funkcja x - cosx z przykładu 28</i></center></html>\\ 
 ++++ ++++
Line 548: Line 470:
 Chcemy dowieść, że dla każdego dodatniego u, istnieje takie x, że 0 < x < u, dla którego f(x) ma którykolwiek z pożądanych znaków. Przypuśćmy, że to nie jest prawda dla jakiegoś rzeczywistego u. Wtedy, za pomocą zasady przenoszenia (transfer rule) nieistnienie jakiegokolwiek rzeczywistego x z pożądanymi właściwościami implikuje nieistnienie takiego hiperrzeczywistego x. Ale dla nieskończenie małego x, znak f jest określany całkowicie przez współczynnik przy sinusie, gdyż ten współczynnik jest skończony a współczynnik liniowy nieskończenie mały. Oczywiście sin (1/x) nie może mieć tego samego znaku dla każdej wartości x mniejszej od u, więc jest to sprzeczność a twierdzenie jest poprawne dla każdego u. Z twierdzenia Darbouxa wynika, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania. Chcemy dowieść, że dla każdego dodatniego u, istnieje takie x, że 0 < x < u, dla którego f(x) ma którykolwiek z pożądanych znaków. Przypuśćmy, że to nie jest prawda dla jakiegoś rzeczywistego u. Wtedy, za pomocą zasady przenoszenia (transfer rule) nieistnienie jakiegokolwiek rzeczywistego x z pożądanymi właściwościami implikuje nieistnienie takiego hiperrzeczywistego x. Ale dla nieskończenie małego x, znak f jest określany całkowicie przez współczynnik przy sinusie, gdyż ten współczynnik jest skończony a współczynnik liniowy nieskończenie mały. Oczywiście sin (1/x) nie może mieć tego samego znaku dla każdej wartości x mniejszej od u, więc jest to sprzeczność a twierdzenie jest poprawne dla każdego u. Z twierdzenia Darbouxa wynika, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_6.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot x - sin(1/x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.11. Funkcja x - sin(1/x)</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.11. Funkcja x - sin(1/x)</i></center></html>\\ 
  
Line 585: Line 497:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 602: Line 511:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \ell
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 617: Line 523:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x} \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 633: Line 536:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{x}+7}{\frac{1}{x}+8686} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{x}+7}{\frac{1}{x}+8686}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 647: Line 547:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{2+7x}{1+8686x} \frac{2+7x}{1+8686x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 665: Line 562:
 \\  \\ 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_7.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.60000 : 4.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot 1/(x*x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.12. Funkcja 1/x^2 z przykładu 34</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.12. Funkcja 1/x^2 z przykładu 34</i></center></html>\\ 
  
Line 685: Line 572:
 Zbadaj zachowanie się granicy funkcji $f(x)=\tan^{-1}{(1/x)}$ gdy x dąży do 0.\\  Zbadaj zachowanie się granicy funkcji $f(x)=\tan^{-1}{(1/x)}$ gdy x dąży do 0.\\ 
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_8.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -6.00000 : 6.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -2.00000 : 2.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot atan(1/x) +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.13. Funkcja f(x) z przykładu 35</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.13. Funkcja f(x) z przykładu 35</i></center></html>\\ 
 \\  \\ 
Line 704: Line 581:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0^-}\tan^{-1}\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} \lim_{x\to 0^-}\tan^{-1}\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0^+}\tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \lim_{x\to 0^+}\tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 ++++ ++++
Line 723: Line 594:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 734: Line 602:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{\sin{0,00001}}{0,00001} = 0,999999999983333 \frac{\sin{0,00001}}{0,00001} = 0,999999999983333
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
 Wygląda na to, że granica jest równa 1. To jest idea definicji granicy Weierstrassa: wydaje się, że możemy otrzymać odpowiedź tak bliską do 1 jaką byśmy chcieli, jeżeli jesteśmy skłonni zrobić //x// tak bliskie 0 jak to potrzebne. Wykres na rysunku 2.14 to ilustruje. Wygląda na to, że granica jest równa 1. To jest idea definicji granicy Weierstrassa: wydaje się, że możemy otrzymać odpowiedź tak bliską do 1 jaką byśmy chcieli, jeżeli jesteśmy skłonni zrobić //x// tak bliskie 0 jak to potrzebne. Wykres na rysunku 2.14 to ilustruje.
  
-<plot> +{{wykresy:matematyka_rozdz_2_9.png}}
-unset border +
-set xtics axis nomirror +
-set ytics axis nomirror +
-set zeroaxis +
-set xrange [ -20.00000 : 20.00000 ] noreverse nowriteback +
-set yrange [ -0.50000 : 1.00000 ] noreverse nowriteback +
-set zeroaxis +
- +
-plot sin(x)/x +
-</plot>+
 <html><center><i>Rys. 2.14. Wykres funkcji sinx/x</i></center></html>\\  <html><center><i>Rys. 2.14. Wykres funkcji sinx/x</i></center></html>\\ 
  
Line 760: Line 615:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [\frac{\sin{(0 + dx)}}{0+dx}\right]\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [\frac{\sin{(0 + dx)}}{0+dx}\right]\\
 &= \st\left [\frac{dx + ...}{dx}\right] &= \st\left [\frac{dx + ...}{dx}\right]
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 770: Line 624:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [1+\frac{\ldots}{dx}\right]\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x} &= \st\left [1+\frac{\ldots}{dx}\right]\\
 &= 1 &= 1
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 783: Line 636:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to a}\frac{u}{v} = \frac{\dot{u}(a)}{\dot{v}(a)} \lim_{x\to a}\frac{u}{v} = \frac{\dot{u}(a)}{\dot{v}(a)}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 </box> </box>
Line 793: Line 643:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{u}{v} = \frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} \frac{u}{v} = \frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 805: Line 652:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 818: Line 662:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1} \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 827: Line 668:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1}=\infty \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-2x+1}=\infty
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 ++++ ++++
Line 839: Line 677:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos{x}}{(x-\pi)^2} \lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos{x}}{(x-\pi)^2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 848: Line 683:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{-\sin{x}}{2(x-\pi)} \frac{-\sin{x}}{2(x-\pi)}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 \\ \\
Line 857: Line 689:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{-\cos{x}}{2} = \frac{1}{2} \frac{-\cos{x}}{2} = \frac{1}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 ++++ ++++
Line 869: Line 698:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 \frac{0,001}{0,037} &= \frac{1}{37}\\ \frac{0,001}{0,037} &= \frac{1}{37}\\
 \frac{0,001}{0,000001} &= 1000\\ \frac{0,001}{0,000001} &= 1000\\
 \frac{0,000001}{0,001} &= 0,001 \frac{0,000001}{0,001} &= 0,001
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
 \\  \\ 
Line 882: Line 710:
 \\  \\ 
 $$ $$
- $ \begin{align*}+\begin{aligned}
 1000 - 500 &= 500\\ 1000 - 500 &= 500\\
 1001 - 1000 &= 1 1001 - 1000 &= 1
-\end{align*} +\end{aligned}
-$ +
 $$\\  $$\\ 
  
Line 895: Line 722:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \sqrt{1000001} - \sqrt{999999} = 1,000000020373 * 10^{-3} \sqrt{1000001} - \sqrt{999999} = 1,000000020373 * 10^{-3}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
 co jest liczbą przypominającą nieskończenie małe. Bardziej rygorystycznie możemy zapisać wyrażenie jako $\sqrt{H}(\sqrt{1+\frac{1}{H}} - \sqrt{1-\frac{1}{H}}$. Ponieważ pochodna pierwiastka kwadratowego $\sqrt{x}$ w x = 1 wynosi 1/2, możemy to aproksymować jako: co jest liczbą przypominającą nieskończenie małe. Bardziej rygorystycznie możemy zapisać wyrażenie jako $\sqrt{H}(\sqrt{1+\frac{1}{H}} - \sqrt{1-\frac{1}{H}}$. Ponieważ pochodna pierwiastka kwadratowego $\sqrt{x}$ w x = 1 wynosi 1/2, możemy to aproksymować jako:
  
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \sqrt{H}[1+\frac{1}{2H} + ... - (1 - /frac{1}{2H} + ... )] \sqrt{H}[1+\frac{1}{2H} + ... - (1 - /frac{1}{2H} + ... )]
 = \sqrt{H}[\frac{1/H} + ...] = \sqrt{H}[\frac{1/H} + ...]
 = \frac{1}{\sqrt{H}} = \frac{1}{\sqrt{H}}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\ $$\\
 \\ \\
Line 919: Line 740:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to \infty}3+\frac{1}{x} = 3 \lim_{x\to \infty}3+\frac{1}{x} = 3
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 930: Line 748:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1} \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 939: Line 754:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2} \lim_{x\to a}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 948: Line 760:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to +\infty}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2} \lim_{x\to +\infty}\arctan{x}^{-1} = \frac{\pi}{2}
 \lim_{x\to -\infty}\arctan{x}^{-1} = -\frac{\pi}{2} \lim_{x\to -\infty}\arctan{x}^{-1} = -\frac{\pi}{2}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 963: Line 772:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \lim_{x\to \infty}\frac{2x+7}{x+8686} \lim_{x\to \infty}\frac{2x+7}{x+8686}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
Line 974: Line 780:
 \\ \\
 $$ $$
- $ \begin{equation*} 
 \frac{2+\frac{7}{x}}{1+\frac{8686}{x}} \frac{2+\frac{7}{x}}{1+\frac{8686}{x}}
-\end{equation*} 
-$  
 $$\\  $$\\ 
  
matematyka/rozdz_2.txt · Last modified: 2026/10/21 22:08 by 127.0.0.1
Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki